Question

【题目】如图，A(0，2)，B(6，2)，C(0，c)(c＞0)，以A为圆心AB长为半径的交y轴正半轴于点D，与BC有交点时，交点为E，P为上一点．

(1)若c＝6+2，

①BC＝_____，的长为_____；

②当CP＝6时，判断CP与⊙A的位置关系，并加以证明；

(2)若c＝10，求点P与BC距离的最大值；

(3)分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离(结果无需化简)

Answer 1

【答案】(1)①12，π；②CP与⊙A相切；(2)若c＝10，点P与BC距离的最大值是；(3)c=1时，PM=；c=6时，PF＝6﹣；c=9时，PF＝6﹣；c=11时，PG＝.

【解析】

(1)①先求出AB，AC，进而求出BC和∠ABC，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC是直角三角形，即可得出结论；

(2)分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；

(3)画图图形，同(2)的方法即可得出结论．

解：(1)①如图1，连接AE，

∵c＝6+2，

∴OC＝6+2，

∴AC＝6+2﹣2＝6，∵AB＝6，

在Rt△BAC中，根据勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝＝，

∴∠ABC＝60°，

∵AE＝AB，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴的长为＝π，

故答案为12，π；

②CP与⊙A相切．

证明：∵AP＝AB＝6，AC＝OC﹣OA＝6，

∴AP2+CP2＝108．

又AC2＝(6)2＝108，

∴AP2+PC2＝AC2．

∴∠APC＝90°，即：CP⊥AP．

而AP是半径，

∴CP与⊙A相切．

(2)若c＝10，即AC＝10﹣2＝8，则BC＝10．

①若点P在上，AP⊥BE时，点P与BC的距离最大，设垂足为F，

则PF的长就是最大距离，如图2，

S△ABC＝AB×AC＝BC×AF，

∴AF＝＝，

∴PF＝AP﹣AF＝

②如图3，若点P在上，作PG⊥BC于点G，

当点P与点D重合时，PG最大．

此时，sin∠ACB＝，

即PG＝＝．

∴若c＝10，点P与BC距离的最大值是；

(3)当c＝1时，如图4

过点P作PM⊥BC，sin∠BCP＝

∴PM＝＝；

当c＝6时，如图5，同c＝10的①情况，PF＝6﹣，

当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝6﹣，

当c＝11时，如图7，

点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，PG＝．