题目内容
如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE延长线交△ABC外接圆于D，以下四个结论中正确的个数是（ ）①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④
| AB |
| AC |
| AE |
| ED |
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
分析：根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，则点D为弧BC的中点，又由AC=BC，得CE⊥AB；则延长BE交圆于一点也一定是弧AC的中点，则BE=AE；根据同弧所对的圆周角相等，得出三角形DEB与ABC三个角分别对应相等．则三角形DEB与ABC相似，从而得出第4个结论正确．
解答：解：∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
点D为弧BC的中点，
∵AC=BC，且CE为∠ACB的平分线，
∴CE⊥AB（三线合一），选项②正确；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，选项①正确；
∵∠CAD=∠BAD，
∴
=
，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，选项③正确；
∵△ABC和△BED都为等腰三角形，且两顶角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴
=
，
∴
=
，
∵DE=DB，BE=AE，
∴
=
，选项④正确，
∴正确结论有4个．
故选D．
点D为弧BC的中点，
∵AC=BC，且CE为∠ACB的平分线，
∴CE⊥AB（三线合一），选项②正确；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，选项①正确；
∵∠CAD=∠BAD，
∴
 |
| CD |
|
| BD |
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，选项③正确；
∵△ABC和△BED都为等腰三角形，且两顶角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴
| AB |
| BE |
| AC |
| BD |
∴
| AB |
| AC |
| BE |
| BD |
∵DE=DB，BE=AE，
∴
| AB |
| AC |
| AE |
| ED |
∴正确结论有4个．
故选D．
点评：本题考查了三角形的内心，等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．
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