Question

（2007•宜宾）已知：如图，在半径为4的⊙O中，圆心角∠AOB=90°，以半径OA、OB的中点C、F为顶点作矩形CDEF，顶点D、E在⊙O的劣弧上，OM⊥DE于点M．试求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】分析：由图知，阴影部分的面积等于扇形OAB的面积减去等腰直角三角形OAB的面积再减去矩形PQED的面积．求得相关的线段后即可得解．
解答：解：∵∠AOB=90°，
∴扇形AOB的面积=．（1分）
∵C、F分别为OA、OB的中点，OA=OB=4，
∴OC=OF=2，CF=．（2分）
∴CF平行且等于AB．
∴AB=2CF=．（3分）
∴CF∥AB∥DE，
∴CD⊥AB，FE⊥AB．
∵OM⊥DE，
∴OM⊥AB．
∵△AON为等腰直角三角形，且OA=4，
∴ON=．连接OD，
∵，
∴．
∴MN=PD=QE=-．（4分）
∴矩形PDEQ的面积=×（-）=-8．（5分）
∴S_阴影=S_扇形AOB-S_△AOB-S_矩形PDEQ
=（）
=（）
=4π-8-（）
=4π-．（6分）
点评：本题关键是求矩形QDEQ的长PQ和宽QE，要利用到等腰直角三角形的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质．