Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P为BC上的动点，当CP=________时，△APE的周长最小．

Answer 1

分析：延长AB到M，使BM=AB，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP长．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠ABC，AB=CD=4，BC=AD=8，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==2，
即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM=AB=4，则A和M关于BC对称，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，
AP+PE=EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴=，
∴=，
解得：CP=，
故答案为：．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，关键是找出符合条件的P点的位置，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．