Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.

1.求此抛物线的解析式

2.点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；

3.设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

 

1.∵过点M、N（2，－5），，

由题意，得M（，）.

∴ 

解得 

∴此抛物线的解析式为. ……………………………2分

2.设抛物线的对称轴交MN于点G，

若△DMN为直角三角形，则.

∴D₁（，），（，）. …………………………………2分

直线MD₁为，直线为.

将P（x，）分别代入直线MD₁，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）.  …………………………………2分

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）. ……………………………1分

3.设存在点Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，

交MN于点H，则.

即.                                                                                          

解得，（舍）.

∴（，3）. ……………………………2分

② 若点Q在MN下方，

同理可得（6，）. …………………2分

解析:（1）把M、N两点坐标代入抛物线的解析式中计算出a、b的值即可；

（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，把P点坐标代入到直线MD方程中，从而解出P点的坐标；

（3）先设存在点Q（x，），分二种情况进行讨论，Q在MN上方或下方，利用直角三角形的性质进行求解。