Question

如图，四边形ABCD为边长等于4的菱形，∠ABC=60°，点M为边AD上一点，点N为边DC上一点，且AM=DN．
（1）AM=DN=3时，求△BMN的面积；
（2）是否存在一点M和点N，使△BMN的面积等于

5 3

2

？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AEB中求出BE，在Rt△NCF中求出NF，继而得出GN，则S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN，代入计算即可．
（2）设AM=DN=x，则分别表示出BE，NF，GN，根据（1）的思路表示出△BMN的面积，从而建立方程求解即可．

解答：解：（1）过点B作BE⊥DA，交DA延长线于点E，过点N作NF⊥BC，交BC的延长线于点F，延长FN交AD于点G，
∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=30°，∠FCN=60°，
又∵四边形ABCD为边长等于4，
∴AE=2，BE=2

3

，
∵AM=DN=3，
∴CN=CD-DN=1，
∴CF=

1

2

，NF=

3

2

，
∴GN=GF-NF=BE-NF=

3 3

2

，
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN=4×2

3

-

1

2

×3×2

3

-

1

2

×1×

3 3

2

-

1

2

×4×

3

2

=

13 3

4

；

（2）存在一点M和点N，使△BMN的面积等于

5 3

2

．
设AM=DN=x，则DM=4-x，CN=4-x，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴NF=

3

2

（4-x），
∴GN=2

3

-

3

2

（4-x），
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN
=4×2

3

-

1

2

×x×2

3

-

1

2

×（4-x）×[2

3

-

3

2

（4-x）]-

1

2

×4×

3

2

（4-x）
=-

3

4

x²-

3

x+4

3

=-

3

4

（x-2）²+5

3

，
∴当x=2时，△BMN的面积最大，最大值为5

3

．
此时M、N分别在AD、CD的中点处．

点评：本题考查了四边形的综合题，解答本题的关键是作出辅助线，利用解直角三角形的知识得出有关线段的长度表达式，注意利用“转化法”表示不规则图形的面积．