Question

在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图（1），已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧（AO下方）区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧（AO上方）区域的速度为10cm/秒。
（1）分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间（精确到秒）；
（3）如图（2），作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P，试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短。（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449）

（1）                                             （2）

Answer 1

解：（1）沿A→O→B路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60（秒），
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300（cm），
∴沿A→B路线行进所用时间为：300÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）；
（2）在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，
∴OC= OB=300cm，BC==300（cm），
∴AC=600-300=300（cm），
∴沿A→C→B路线行进所用时间为：
AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57（秒）；
（3）在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连结P′B，
在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，
∴EP=，E′P′=，
∴沿A→P→B路线行进所用时间为：AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10=BE（秒），
沿A→P′→B路线行进所用时间为：AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10= （E′P′+P′B）（秒），
连结BE′，则E′P′+P′B > BE′>BE，
∴BE <（E′P′+P′B），
∴沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间，
即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短。