Question

已知二次函数y=a（x-1）²-a（x-1）（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个判断：

①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；

②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；

③若该函数的图象与x轴有两个交A、B，且S_△ABC=1时，则a=8

其中，正确的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①③
4. D.
   ①②③

Answer 1

A
分析：首先去括号，进而求出b²-4ac的符号以及图象与x轴的交点坐标，再结合三角形面积求出a的值．
解答：y=a（x-1）²-a（x-1）=ax²-3ax+2a，
∵b²-4ac=（3a）²-4×a×2a=a²，a为常数，且a≠0，
∴＞0，
∴①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点，正确；
∵y=ax²-3ax+2a=a（x-1）（x-2），
∴图象与x轴交点坐标为：（1，0），（2，0），
∴②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为1，正确；
③若该函数的图象与x轴有两个交A、B，且S_△ABC=1时，
三角形的高为2，即顶点坐标为：（1，-2）或（1，2），
则a=8或-8，此选项错误．
故其中，正确的是①②．
故选；A．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点性质，得出图象与x轴的坐标是解题关键．