Question

【题目】将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E.

(1)当m=3时,点B的坐标为 ,点E的坐标为 ；

(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由.

(3)如图,若点E的纵坐标为-1,且点(2,a)落在△ADE的内部,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）(3，4)，(0，1)；（2）能，m=；（3）1<a<2.

【解析】

（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；

（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可；

（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围．

(1)点B的坐标为(3，4)，

∵AB=BD=3，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°，

则∠DAE=∠BAD=45°，

则E在y轴上.

AE=AB=BD=3，

∴四边形ABDE是正方形，OE=1，

则点E的坐标为(0，1)；

故答案为(3，4)，(0，1)；

（2）点E能恰好落在x轴上.理由如下：

∵四边形OABC为矩形，

∴BC=OA=4,∠AOC=∠DCE=90，

由折叠的性质可得：DE=BD=OACD=41=3，AE=AB=OC=m，

如图，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由

勾股定理可得EC===，

则有OE=OCCE=m，

在Rt△AOE中,OA2+OE2=AE2，

即,解得m=；

（3）如图,过点E作EF⊥AB于F,EF分别与AD、OC交于点G、H,过点D作DP⊥EF于点P,则EP=PH+EH=DC+EH=2,

在Rt△PDE中,由勾股定理可得，

∴BF=DP=，

在Rt△AEF中,AF=ABBF=m，EF=5，AE=m

∵AF2+EF2=AE2

∴(m)2+52=m2，

解得m=，

∴AB=，AF=，E(，1)

∵∠AFG=∠ABD=90，∠FAG=∠BAD

∴△AFG∽△ABD

∴,即，

解得FG=2，

∴EG=EFFG=3

∴点G的纵坐标为2，

∵点(,a)在直线x=上,且点(,a)落在△ADE的内部，

∴此点必在EG上，

∴1<a<2，

故a的取值范围为1<a<2.