Question

已知抛物线y=mx²-4mx+4m-2（m是常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若

1

5

＜m＜5，且抛物线与x轴交于整数点，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²+bx+c的顶点（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）即可得出答案；
（2）根据题意得出mx²-4mx+4m-2=0的根是整数．再由求根公式求出两根，根据m的取值得出抛物线的解析式为y=2x²-8x+6或y=

1

2

x²-2x或y=

2

9

x²-

8

9

x-

10

9

．

解答：解：（1）依题意，得m≠0，
∴x=-

b

2a

=-

-4m

2m

=2，
y=

4ac-b2

4a

=

4m(4m-2)-(-4m)2

4m

=

16m2-8m-16m2

4m

=-2．
∴抛物线的顶点坐标为（2，-2）．（2分）

（2）∵抛物线与x轴交于整数点，
∴mx²-4mx+4m-2=0的根是整数．
∴x=

4m± 16m2-4m(4m-2)

2m

=2±

2 2m

2m

．
∵m＞0，
∴x=2±

2 m

是整数．（3分）
∴

2

m

是完全平方数．
∵

1

5

＜m＜5，
∴

2

5

＜

2

m

＜10（4分）
∴

2

m

取1，4，9，
当

2

m

=1时，m=2；
当

2

m

=4时，m=

1

2

；
当

2

m

=9时，m=

2

9

．
∴m的值为2或

1

2

或

2

9

．
∴抛物线的解析式为y=2x²-8x+6或y=

1

2

x²-2x或y=

2

9

x²-

8

9

x-

10

9

．（7分）

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质．