Question

看对话回答：
小华说：这个凸多边形的内角和是2013°．
小明说：什么？不可能吧！你看，你错把一个外角当内角加在了一起！
（1）内角和为2013°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？

Answer 1

分析：（1）由n边形的内角和公式为（n-2）180°，可知n边形的内角和一定是180°的整数倍，而2013不能被180整除，所以小明说不可能；
（2）根据这个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和为2013°列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．

解答：解：（1）∵2013÷180=11

33

180

，
即2013不能被180整除，
∴小明说不可能；

（2）设小华求的是n几边形的内角和，这个内角为x度，则0＜x＜180°．
根据题意，得（n-2）•180°-x+（180°-x）=2013°，
解得n=12+

2x+33

180

．
∵n为正整数，
∴2x+33必为180的倍数，
又∵0＜x＜180，
∴

33

180

＜

2x+33

180

＜

393

180

，
∴n=13或14．
∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和．

点评：本题主要考查了多边形的内角和定理及内角与外角的关系，题目较难．n边形的内角和为：180°•（n-2）；多边形的内角与它相邻的外角互为邻补角．