Question

如图，AB为⊙O的直径，，点M为BC上一点，且CM=AC．
（1）求证：M为△ABE的内心；
（2）若⊙O的半径为5，AE=8，求S_△BEM．

Answer 1

（1）证明：连接CE，
∵，
∴AC=CE，∠ABC=∠EBC，
∵CM=AC，
∴AC=CE=CM，
∴A、M、E三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，
∴∠AEM=∠ACM，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∴∠ACM=90°，
∴∠AEM=45°，
∴∠BEM=∠AEM=45°，
∴点M是∠ABE与∠AEB的角平分线的交点，
∴M为△ABE的内心；

（2）解：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，AE=8，
∴AB=10，
∴BE==6，
∵M为△ABE的内心
∴△ABE的内切圆的半径为r．
∵S_△ABE=AE•BE=（AB+AE+BE）•r，
∴r===2，
∴S_△BEM=BE•r=×6×2=6．
分析：（1）首先连接CE，易证得AC=CE=CM，即可得A、M、E三点在以C为圆心，AC为半径的圆上，继而求得，∠AEM=∠ACM=45°，则可得EM平分∠AEM，易得BC平分∠ABE，继而证得M为△ABE的内心；
（2）由内切圆的性质，可得S_△ABE=AE•BE=（AB+AE+BE）•r，继而求得内切圆的半径，继而求得答案．
点评：此题考查了三角形的内切圆的性质与判定以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．