Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（-4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论；

（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A,O,Q为顶点的三角形与△OBC相似。若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）连接PC，

∵A（-4，0），B（1，0）

∴AB=5

∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心

∴PC=PA=2.5 ，OP=4-2.5=1.5 ．

∴OC= PC²−OP²=2

∴C（0，2）．

设经过A、B、C三点的抛物线为y=a（x-1）（x+4），

∴-2=a（0-1）（0+4）

∴a=

∴抛物线为y=（x-1）（x+4）

     （2）直线MC与⊙P相切．

易证CN²+PC²=PN²．

∴∠PCN=90度．

∴MC与⊙P相切．

（3）(-4,2);(-4,8);

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