Question

如图．抛物线y=-x²-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S_△MAB=6，点M的坐标为

（-2，3 ）

，若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，当t为

2

时，△APQ的面积最大，最大面积是

2

2

．

Answer 1

分析：①设出点M的坐标为（x，-x²-2x+3），然后表示出其面积

1

2

×（-x²-2x+3）×4=6，通过解此方程可以求得M点的坐标；
②求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．

解答：解：①设M点的坐标为（x，-x²-2x+3）．
∵点M在第二象限，所以-x²-2x+3＞0，
所以

1

2

×（-x²-2x+3）×4=6，
解之，得x₁=0，x₂=-2，
当x=0时，y=3（不合题意，舍去）；
当x=-2时，y=3．
所以M点的坐标为（-2，3）；

②令-x²-2x+3=0，则（x+3）（x-1）=0，
解得，x₁=-3，x₂=1，
A（-3，0），B（1，0），C（0，3）；
故AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q点的纵坐标为

2

t，
S=

1

2

×

2

t×（4-t）=-

2

2

（t-2）²+2

2

t（0＜t＜4）
∵S=-2

2

（t²-4t+4-4）=-2

2

（t-2）²+2

2

，
∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是2

2

．
故答案是：（-2，3）；2；2

2

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线方程和一元二次方程的关系、三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．