Question

如图，在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，1），
（1）有一小球从点B水平向右匀速滚去，同时一个机器人从点A以同样的速度直线前进去拦截小球，请你在图中画出机器人最快截住小球的位置点P．（作图要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）在x轴上找一点Q，使AQ+BQ的值最小，并求出此时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交过点B的水平线于一点，即机器人最快截住小球的位置点P；
（2）先作点B关于x轴的对称点B′，再连接AB′交x轴于点Q；再设出直线AB′的函数关系式，将A、B′的坐标代入求得解析式，因点Q在x轴上，故令y=0，代入解析式可得x的值，即可得点Q的坐标．

解答：
解：（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交过点B的水平线于点P；

（2）作点B关于x轴的对称点B′（-1，-1），连接AB′交x轴于点Q；
设直线AB′的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将A、B′的坐标代入，得y=

4

3

x+

1

3

令y=0，得x=-

1

4

，
所以点Q的坐标为（-

1

4

，0）．

点评：本题考查的是平行线的性质以及垂直平分线的性质，属于难度较大的问题，注意结合待定系数法求函数解析式．