Question

如图，正方形ABCD的边长为6cm，P、Q分别是BC、AD边上的两个动点，点P从点B出发以3cm/s的速度向点C运动，点Q从点D出发以4cm/s的速度向点A运动．P、Q两点同时出发，当Q到达A点时，Q、P点同时停止运动．过Q作QF⊥BC于F，交AC于E，连接EP．设运动的时间为x（s），△EPC的面积为y（cm²）
（1）求y（cm²）与x（s）的函数关系式；
（2）当x为几秒时，△EPC的面积有最大值，最大值是多少cm²；
（3）当x为几秒时，△EPC是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：（1）判断出四边形CDQF是矩形，根据矩形的对边相等可得CF=DQ，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ACB=45°，然后求出△CEF是等腰直角三角形，并求出EF=CF，再求出PC，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把函数关系式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据∠ACB=45°，分PE=CE时，根据等腰三角形三线合一的性质可得PC=2CF，列出方程求解即可；PE=FC时，点P和点F重合，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，QF⊥BC，
∴四边形CDQF是矩形，
∴CF=DQ=4x，
∵∠ACB=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CF=4x，
又∵PC=BC-BP=6-3x，
∴△EPC的面积为y=

1

2

PC•EF=

1

2

（6-3x）•4x=-6x²+12x，
点P运动到点C的时间为6÷3=2秒，
点Q运动到点A的时间为6÷4=1.5秒，
∴0≤x≤1.5，
∴y=-6x²+12x（0≤x≤1.5）；

（2）∵y=-6x²+12x，
=-6（x²-2x+1），
=-6（x-1）²+6，
∴x=1秒时，△EPC的面积有最大值，最大值是6cm²；

（3）∵∠ACB=45°，
∴PE=CE和PE=FC时，△EPC是等腰直角三角形，
①PE=CE时，PC=2CF，
6-3x=2×4x，
解得x=

6

11

，
②PE=FC时，点P和点F重合，
PC=CF，
∴6-3x=4x，
解得x=

6

7

，
综上所述，x=

6

11

或

6

7

时，△EPC是等腰直角三角形．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，二次函数的最值问题，（3）难点在于要分情况讨论．