Question

【题目】如图1，点是的内部一点，连接、和，如果、和中有两个角相等，则称是的“等心”．特别地，若这三个角都相等，则称是的“恒等心”．

（1）在等边中，点是恒等心，，则点到的距离是_______；

（2）如图2，在中，，点是的外接圆外一点，连接，交于点，试判断是不是的“等心”，并说明理由；

（3）如图3，分别以锐角的边、为边向外做等边和等边，和相交于点，求证：点是的“恒等心”．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是的“等心”，理由见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）先根据“恒等心”的定义求出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的性质可得，最后解直角三角形即可得；

（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据领补角的定义、等量代换可得，最后根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，由此即可得证；

（3）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理可得，从而根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，最后根据角的和差可得出，由此即可得证．

（1）如图，过点P作于点D

由“恒等心”的定义得：

是等边三角形

在和中，

（等腰三角形的三线合一）

在中，，即

解得

即点到的距离是2

故答案为：；

（2）如图，连接PA、PB

由圆周角定理得：

又

由圆内接四边形的性质可知，

是的“等心”；

（3）如图，连接

和都是等边三角形

，，

，即

在和中，

在和中，

，即

在和中，

则点是的“恒等心”．