题目内容

如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC= $数学公式$ ，BC=2 $数学公式$ ，D、E是线段AB上两点且△CDE为等边三角形．
（1）求线段AD的长；
（2）求△CDB的面积．

解：（1）作CF⊥AB于F点．
∵△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=∠ACB=120°．
在△ACD和△ABC中，
∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ．
设AD=x，
∵AC= $\text{[math]}$ ，BC=2 $\text{[math]}$ ，
∴CD=2x．
同理，BE=4x．
∵△ADE为等边三角形，CF⊥AB，
∴DF= $\text{[math]}$ DE= $\text{[math]}$ CD=x，CF= $\text{[math]}$ x，AF=2x．
在Rt△ACF中，AC= $\text{[math]}$ ，则（2x）²+（ $\text{[math]}$ x）²=（ $\text{[math]}$ ）²∴x=1．（-1舍去）
即AD=1．

（2）由（1）得BD=2+4=6．
S_△CDB= $\text{[math]}$ ×6× $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为△CDE是等边三角形，所以∠CDE=∠CED=60°，可得出∠ADC=∠BEC=120°．则△ACD∽△ABC∽△BCE．因此得相关线段之间的关系，根据勾股定理求解．
（2）根据（1）中所得数据，代入面积公式计算．
点评：此题考查了相似三角形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点．把相关线段转换到直角三角形中是关键．