题目内容
已知△ABC中，AC=3，BC=4，AB的长是方程x2-4x-5=0的一个根，则△ABC的内切圆半径与外接圆半径分别是（ ）
| A、1和2.5 | B、2和5 | C、2和2.5 | D、3和5 |
分析：解方程求出AB，根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OD、OE，证出AF=AD，BF=BE，CE=CD，正方形ODCE，推出DO=DC=CE=OE，设OD=DC=CE=OE=r，得到方程3-r+4-r=5，求出r即可；根据R=
AB即可求出外接圆半径．
| 1 |
| 2 |
解答：解：解方程x2-4x-5=0得：x1=-1，x2=5，
∴AB=5，
∵32+42=25，52=25，
∴AC+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OD、
OE，
∵圆O是△ABC的内切圆
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴DO=DC=CE=OE，
设OD=DC=CE=OE=r，
则3-r+4-r=5，
∴r=1，
Rt△ABC的外接圆的半径是
×5=2.5．
故选A．
∴AB=5，
∵32+42=25，52=25，
∴AC+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OD、
OE，∵圆O是△ABC的内切圆
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴DO=DC=CE=OE，
设OD=DC=CE=OE=r，
则3-r+4-r=5，
∴r=1，
Rt△ABC的外接圆的半径是
| 1 |
| 2 |
故选A．
点评：本题主要考查对勾股定理的逆定理，正方形的性质和判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，切线长定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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