Question

【题目】已知：如图①，在矩形中，，垂足是.点是点关于的对称点，连接．

（1）求和的长；

（2）若将沿着射线方向平移，设平移的距离为(平移距离指点沿方向所经过的线段长度)．当点分别平移到线段上时，直接写出相应的的值．

（3）如图②，将绕点顺时针旋转一个角，记旋转中为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点，与直线交于点．是否存在这样的两点，使为等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在组符合条件的点、点，使为等腰三角形； 的长度分别为或或或．

【解析】

（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
由勾股定理得：BD=，
∵S△ABDBDAE=ABAD，
∴AE=，
∵点F是点E关于AB的对称点，
∴AF=AE，BF=BE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=3，AE，

由勾股定理得：BE；

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：

由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE，

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′，

①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，

根据平移的性质知：∠1=∠4，

∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′，即；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，AB⊥AD，
∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′，

∴BB′=BD-B′D=5-，即m；

（3）存在．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，

∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，

∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠2=∠BAE，

∵点F是点E关于AB的对称点，
∴∠1=∠BAE，

∴∠1=∠2，

在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，

则∠Q=∠DPQ，
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=F′A′+A′Q=，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，

∴DQ=BQ-BD=；

②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，

则∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，
则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ，
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，
即：，

解得：，

∴DQ= BD-BQ=5-；

③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，

则∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°-∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°-∠1，

∴∠A′QB=∠4=90°-∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=3，
∴F′Q=A′Q-A′F′=3-，

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=，

∴DQ=BQ-BD=；

④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，

则∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=3，
∴DQ=BD-BQ=5-3=2．

综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：或或或．