Question

在直角坐标系中，设A（4，-5），B（8，-3），C（m，0），D（0，n），当四边形ABCD的周长最短时，

m

n

的值为

 

．

Answer 1

分析：由于AB长为定值，四边形ABCD周长最短其实就是AD+DC+BC最小不妨作出B点关于y轴的对称点B'（4，5），A点关于x轴的对称点A'（-8，-3）再连接A'B'，该直线A'B'交y轴于C，交x轴于D，求出A′B′的解析式，把C、D点的坐标代入直线方程，求出m、n的值即可．

解答：解：如图所示，作B点关于x轴的对称点B'（8，3），A点关于y轴的对称点A'（-4，-5）再连接A'B'，该直线A'B'交y轴于C，交x轴于D，
设直线A′B′的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A'（-4，-5）、B'（8，3）代入得，

-5=-4k+b① 3=8k+b②

，
①-②得，k=

2

3

，代入②得，b=-

7

3

，
故此函数的解析式为：y=

2

3

x-

7

3

，
分别把C（m，0），D（0，n）代入得，

2

3

m-

7

3

=0，n=-

7

3

，
即m=

7

2

，n=-

7

3

，

m

n

=

7

2

×（-

3

7

）=-

3

2

．
故答案为：-

3

2

．

点评：本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，利用轴对称的性质分别求出A′、B′两点的坐标是解答此题的关键．