Question

在△ABC中，∠ACB＝45°．点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

(1)如果AB＝AC．如图，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

(2)如果AB≠AC，如图，且点D在线段BC上运动．(1)中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．(用含x的式子表示)

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)CF与BD位置关系是垂直；

　　证明如下：AB＝AC，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝45°．

　　由正方形ADEF得AD＝AF，∵∠DAF＝∠BAC＝90°，

　　∴∠DAB＝∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF＝∠ABD．

　　∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

　　(2)CF⊥BD．(1)中结论成立．

　　理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG

　　可证：△GAD≌△CAF　∴∠ACF＝∠AGD＝45°

　　∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°．即CF⊥BD

　　(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

　　①点D在线段BC上运动时，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．∴DQ＝4－x，

　　易证△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．

　　②点D在线段BC延长线上运动时，

　　∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4＋x．

　　过A作交CB延长线于点G，则．CF⊥BD，

　　△AQD∽△DCP，∴，∴，

　　．