题目内容

如图，已知抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）、 $数学公式$
（1）求抛物线对应的函数关系式及对称轴；
（2）点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线 $数学公式$ 必经过点C′．

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x+1）．
已知抛物线过C（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
则有：a（ $\text{[math]}$ -4）（ $\text{[math]}$ +1）=- $\text{[math]}$ ，
解得a= $\text{[math]}$ ．
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
其对称轴为：x= $\text{[math]}$ ．

（2）由题意可知：C′（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
当x= $\text{[math]}$ 时，y=- $\text{[math]}$ （x+1）=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +1）=- $\text{[math]}$ ，
因此直线y=- $\text{[math]}$ （x+1）必过C′．
分析：（1）已知了抛物线上A，B，C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．进而可根据二次函数的解析式得出抛物线的对称轴．
（2）可根据（1）的抛物线对称轴的解析式，求出C′的坐标，将C′的坐标代入直线的解析式中即可判断出C′是否在直线y=- $\text{[math]}$ （x+1）上．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

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如图，已知抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）、C(

)
（1）求抛物线对应的函数关系式及对称轴；
（2）点C′是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线y=-

(x+1)必经过点C′．

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，

）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

如图，已知抛物线过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）若P是抛物线上C、B两点之间的一动点，请连接CP、BP，是否存在点P，使得四边形OBPC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（6，0），直线AB交抛物线的对称轴于点F，直线AC交抛物线对称轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：点E与点F关于顶点D对称；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.