题目内容

如图，直线y=-x+4和x轴，y轴的交点分别为B，C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）则 点B的坐标为
（4，0）
（4，0）
，点C的坐标为
（0，4）
（0，4）
，BC的长为
4
2
4
2
；
（2）动点M从点A出发沿x轴向点B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度为每秒
2
个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设点M运动t秒时，△BMN的面积为S．
①是否存在S=2的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
②当MN=3时，求出t的值．
分析：（1）在一次函数中，令y=0即可求得与x轴的交点，令x=0，即可求得与y轴的交点纵坐标，在直角△BOC中利用勾股定理即可求得BC的长；
（2）①利用时间t表示出BM，BN的长度，根据三角形的面积公式即可得到一个关于t的方程求得t的值；
②在△BMN中，利用余弦定理，即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值．
解答：解：（1）在y=-x+4中，令y=0，则-x+4=0，解得：x=4，则B的坐标是（4，0）；
令x=0，则y=4，则C的坐标是：（0，4）；
则OC=4，OB=4，BC=
OB2+OC2
=4
2
；

（2）①∵点A的坐标是（-2，0），B的坐标是（4，0）．
∴AB=6，
∴点M运动t秒时，则BM=6-t，
∵OC=4，OB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠NBM=45°，
又∵BN=
2
t，
∴S=
1
2
BM•BN•sin∠NBM=（6-t）×
2
t×
2
2
=-
1
2
t2+3t．
当S=2时，即-t2+6t=4，解得：t=3±
5
，t=3+
5
（不合题意）．
故当t=3-
5
时S=2．

②在△BNM中，利用余弦定理可得：BM2+BN2-2BM•BN=2BM•BN•cos∠NBM，
即：（8-t）2+（
2
t）2-9=2（8-t）•
2
t•cos45°，
即5t2-32t+55=0，
∵△=322-4×5×55=-76＜0，
∴方程无解．
故t的值不存在．
点评：本题考查了一次函数的应用，以及余弦定理，利用定理把求解的问题转化成方程问题，利用了方程思想．
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