Question

已知关于x的二次函数y=＋(2m＋1)x＋＋2m－．

1．m是什么数值时，y有最小值－2？

2．求证：不论m是什么数值，函数图像的顶点都在同一条直线l上．

3．求证：任何一条平行于l而与抛物线相交的直线，被抛物线所截的线段长都相等．

Answer 1

答案：
解析：

1．解：y=＋(2m＋1)x＋＋2m－ =＋(2m＋1)x＋＋＋2m－ = ∴抛物线顶点为 当m－=－2时，m=－． ∴当m=－时，y有最小值－2． 2．证明：由顶点坐标x=－=－m－， y=m－． 消去m，得x＋y=－1． ∴y=－x－1． ∴不论m是什么数值，函数图像的顶点都在同一条直线l： y=－x－1上． 3．证明：设直线：y=－x＋b，满足∥l且与抛物线相交，下面求交点坐标，得 消y得：－x＋b=＋(2m＋1)x＋＋2m－． 整理得：＋(2m＋2)x＋＋2m－－b=0． Δ=－4 =4b＋5． ∵直线与抛物线相交， ∴4b＋5＞0， ∴x==－m－1±． ∴交点横坐标为=－m－1＋， ∵直线：y=－x＋b与平行于x轴的直线夹角为， ∴直线与抛物线两交点线段长为 即．这与m的取值无关，且对于确定的直线： y=－x＋b(b为常数)，是常数． ∴被抛物线y=＋(2m＋1)x＋＋2m－所截的线段长都相等．