Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．
（1）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；
（2）请你在图中找到一个与△BDF相似的三角形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可证△EBC与△EAF相似，通过相似三角形的性质可得出DE的长．
（2）根据相似三角形的判定定理可得，找出条件即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且边长为3，
∴AB=BC=AD=3，BC∥AD．
∴△EBC∽△EAF．（1分）
∴

BE

EA

=

BC

AF

．
∵DF=2，AD=3，
∴AF=5．（2分）
∴

BE

BE+3

=

3

5

．
∴BE=

9

2

．（3分）

（2）△EBD与△BDF相似．（4分）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，CD∥AB．
∴

EB

AB

=

EC

CF

，

EC

CF

=

AD

DF

．
∴

EB

AB

=

AD

DF

．（5分）
又∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=AD，∠ABD=∠ADB=60°．
∴

EB

BD

=

BD

DF

，∠EBD=∠BDF=120°．
∴△EBD∽△BDF．（6分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．