Question

9．如图，直线y=x+m和双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于点A（1，2）和点B（n，-1）．
（1）求m，k的值；
（2）不等式x+m＞$\frac{k}{x}$的解集为-2＜x＜0或x＞1；
（3）以A、B、O、P为顶点的平行四边形，顶点P的坐标是（3，3）或（-3，-3）或（-1，1）．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，2）代入直线y=x+m求出m的值，再代入双曲线y=$\frac{k}{x}$求出k的值即可；
（2）把B（n，-1）一次函数求出n的值，故可得出其坐标，利用函数图象可直接得出不等式的取值范围；
（3）设P（x，y），再分OA，AP，AB分别为平行四边形的对角线求出x、y的值即可．

解答 解：（1）∵点A（1，2）是直线y=x+m与双曲线y=$\frac{k}{x}$的交点，
∴1+m=2，解得m=1；k=1×2=2；

（2）∵点B在直线y=x+1上，
∴n+1=-1，解得n=-2，
∴n（-2，-1）．
由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，一次函数y=x+m的图象在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的上方．
故答案为：-2＜x＜0或x＞1；

（3）设P（x，y），
∵A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴当OA为平行四边形的对角线时，-2+x=1，y-1=2，解得x=3，y=3，
∴P₁（3，3）；
当AP为平行四边形的对角线时，x+1=-2，y+2=-1，解得x=-3，y=-3，
∴P₂（-3，-3）；
当AB为平行四边形的对角线时，x=1-2=-1，y=2-1=1，
∴P₃（-1，1）．
综上所述，P点坐标为P₁（3，3），P₂（-3，-3），P₃（-1，1）．
故答案为：（3，3）或（-3，-3）或（-1，1）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．