Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3.                  

∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴ 点A的坐标为(4,0) .              

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 

将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .

∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.

（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).

  过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

  则BG⊥直线x=2，BG=4.

  在Rt△BGC中，BC=.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5. 

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，

∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.

∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中点.            

（3）存在.                 

由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得  .

∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

∵ 动点P的坐标为(x，)，

∴ x-1=.  

解得 ，.    ∴ ，.

∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).