Question

【题目】如图，矩形纸片，将和分别沿和折叠()，点和点都与点重合；再将沿折叠，点落在线段上点处．

（1）判断和中有哪几对相似三角形？ (不需说明理由)

（2）如果，求的长．

Answer 1

【答案】（1）与与与三对相似三角形；（2）．

【解析】

（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．

解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；
故与与与三对相似三角形；

（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，
根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，
∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，
∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ-ME=MD-AM，
∵sin∠DMF=，∴设DF=3x，MD=5x，
∴BP=PA=PE=，BQ=5x-1，
∵△AMP∽△BPQ，∴，

，

解得：x=（舍）或x=2，
∴AB=3x=6．