Question

如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵抛物线过（0，0）点．
∴n²-9=0
∴n=±3，
∵顶点在第一象限，
∴-=n＞0且==n²＞0（不写不扣分），
∴n=3
∴抛物线y=-x²+6x
顶点坐标为（3，9）．

（2）如图所示，作AH⊥x轴于H．
设M点的坐标为（x，y）
∴△OMQ∽△OAH，
∴=
∴=，
∴y=4x
由抛物线的对称性可知：QP=MN=6-2x．
∴S_MNPQ=4x（6-2x）=-8x²+24x
∴当x=-=-=时，MN=6-×2=3时，S_MNPQ最大=-8×+24×=18，
答：MN等于3时，矩形MNPQ的最大面积是18．
分析：（1）根据抛物线过原点及顶点在第一象限的特点可求出n的值，进而求出其解析式．
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C点的坐标，作AH⊥x轴于H．设M点的坐标为（x，y），根据△OMQ∽△OAH可求出y与x的函数关系式，由抛物线的对称性可知QP的长，根据矩形的面积公式可列出S与x之间的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最大值．
点评：此题考查的是二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，但难度不大．