Question

【题目】已知，抛物线与轴交于点与轴交于点，，且点的坐标为．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图1，若点是线段上的一动点，过点作，交于，连接，求面积的最大值．

（3）如图2，若直线与线段交于点，与线段交于点，是否存在，，使得为直角三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系数法求出未知系数即可；

（2）求出A，B坐标，设出点P坐标，利用相似三角形的性质表示的面积，通过讨论最值，求出最大面积.

（3）用m分别表示出M，N坐标，分别讨论O、M、N为直角三角形顶点时的情况，求出相应的m值.

解：（1）把点，分别代入中，

得，解得∴该函数解析式为

（2）令，即，解得，

∴，

设，则

∵

∴，

∴

∴，即

化简得：

∴

∵

∴当时，的最大值为3

（3）由题可得：，

联立，解得，∴

联立，解得，∴

，，

①当时，即时

∴∴

又∵，∴

②当时，即时

∴，∴

③当时，即时

∴，无解

∴综上所述：∴，∴