Question

已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，OA²+OB²=10，抛物线交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标；
（3）直线y=kx（k＜0）交直线y=x-3于P，交（1）中抛物线于M，过M作x轴的垂线，垂足为D，交直线y=x-3于N．问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求出k的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出A点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出G点坐标，再利用直线CG解析式联立二次函数解析式求出即可；
（3）利用若△PMN为等腰三角形，k＜0，分三种情况考虑：PM=MN，PM=PN，MN=PN分别得出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，OA²+OB²=10，
∴OA²+（-1）²=10，
∴OA²=9，AO=±3，
∴A点坐标为（3，0），
将A，B代入y=ax²+bx+3得：

0=9a+3b+3 0=a-b+3

，
解得：

a=-1 b=2

，
∴y=-x²+2x+3；

（2）∵∠ECO=∠ACB，
∴∠ECA=∠BCO，
过A作AG⊥AC交CE于G，过G作GH⊥x轴于H，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴

OB

OC

=

AG

AC

，
∴AG=

2

，
由△AOC∽△GHA，
得AH=GH=1，
∴G点坐标为（4，1），
∴直线CG的解析式为：y=-

1

2

x+3，
联立y=-

1

2

x+3与y=-x²+2x+3，求得E（

5

2

，

7

4

），

（3）设直线y=x-3交y轴于F，则OF=OA=3，∠OAF=∠OFA=45°，
∵NM∥CE，∠PNM=∠OFA=45°，
若△PMN为等腰三角形，k＜0，分三种情况考虑：
①若PM=MN，则∠PMN=90°，与k＜0矛盾，舍去，
②若PM=PN，∠PMN=∠PNM=45°，则∠DOM=45°，
∴OD=DM，
∴k=-1，
③若MN=PN，则∠NMP=∠NPM，作PQ⊥y轴于Q，
∵NM∥CF，
∴∠FOP=∠NMP=∠NPM=∠FPO，
∴FP=OF=3，
又∵∠PFQ=45°，∴FQ=PQ=

2

2

PF=

3 2

2

，
OQ=OF-FQ=3-

3 2

2

，
∴P（

3 2

2

，

3 2

2

-3），代入y=kx得，k=1-

2

，
综上可知当k=1-

2

或k=-1，△PMN为等腰三角形．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，利用数形结合以及分类讨论求出是这部分考查的重点．