Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象过点（-32，-

1

2

）．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）如图，点A（m，1）是反比例函数图象上的点，求m的值；
（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使以A、O、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点（-32，-

1

2

）代入反比例函数解析式，可得出k的值，继而得出函数解析式；
（2）将点A（m，1）代入（1）所求的解析式可得出m的值；
（3）分情况讨论，①∠APO=90°，②∠OAP'=90°，分别得出点P的坐标即可．

解答：解：（1）将点（-32，-

1

2

）代入y=

k

x

可得：-

1

2

=

k

-32

，
解得：k=16，
故此反比例函数解析式为y=

16

x

；

（2）将点A（m，1）代入y=

16

x

，可得：1=

16

m

，
解得：m=16；

（3）存在点P的坐标．

①当∠APO=90°时，OP=16，
此时点P的坐标为（16，0）；
②当∠OAP'=90°时，△OAP∽△OP'A，
则

OA

OP′

=

OP

OA

，即

257

OP′

=

16

257

，
解得：OP'=

257

16

，
此时点P'的坐标为（

257

16

，0）．
综上所述：点P的坐标为（16，0）或（

257

16

，0）．

点评：本题属于反比例函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及直角三角形的知识，综合性较强，解答本题要求我们熟练各个知识点，并将各知识点融会贯通．