Question

【题目】已知函数y= （n为常数）

（1）若点（3，-7）在函数图象上，求n的值；

（2）当y=1时，求自变量x的值（用含n的代数式表示）；

（3）若n-2≤x≤n+1，设函数的最小值为y0．当-5≤y0≤-2时，求n的取值范围；

（4）直接写出函数图象与直线y=-x+4有两个交点时，n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）n=4或n=1；（2）-1或n；（3）1≤n≤-2+2 ；（4）n≥3或n=-6．

【解析】

（1）分3＜n和3≥n两种情况，把（3，-7）分别代入相应的函数关系式，解出n的值即可；

（2）把y=1分别代入两个解析式得到方程并解出x的值，然后要检验解得的x值是否符合条件；

（3）先分别求出当和时，y的最小值，然后根据两个最小值的大小关系分类讨论，由题意从而可求出n的取值范围；

（4）分别求出当x=n时，三个函数的函数值，然后通过比较大小，画出函数的大致图象，结合图象求解即可．

（1）解：当3<n时，将（3，-7）代入y=x-nx-n中，

得-7=3-3n-n，解得n=4．

当3≥n时，将（3，-7）代入y=-x+（n-1）x+n+1中，

得-7=-32+3（n-1）+n+1，解得n=1．

综上，n=4或n=1．

（2）解：当y=x-nx-n=1时，解得x1=-1，x2=n+1，

∵x<n，

∴x1=-1．

当y=-x+（n-1）x+n+1=1时解得x1=-1，x2=n．

综上，y=1时，自变量x的值为-1或n．

（3）解：y=

对于,函数y=的对称轴为直线x=,开口向上

①当＜,即n＞4时,

此时当时,y最小=

由n＞4可知: y最小=＜-8,显然不符合题意;

②当,即0＜n≤4时,

此时当x=时, y最小=；

③当，即n＜0时，

此时当时,y最小=

由n＜0可知: y最小=＞0,显然不符合题意;

对于，函数的对称轴为直线x=,开口向小

①当，即n＜-2时，

此时当时，y最小==1，显然不符合题意；

②当，即n≥-2时，

此时当时，y最小==-n-1；

综上：当0＜n≤4且＜-n-1，即2＜n≤4时

-5≤y0=≤-2

解得：或

结合前提条件可得：；

当n≥-2且≥-n-1，即-2≤n≤2时

-5≤y0=-n-1≤-2

解得：1≤n≤4

结合前提条件可得：1≤n≤2

综上可得：当-5≤y0≤-2时，1≤n；

（4）将x=n代入y=中，解得：y=

将x=n代入y= 中，解得：y=1

将x=n代入y= 中，解得：y=-n＋4，其中-n＋4一定大于

当＜1，即n＞-1时，图象大致如下

由图可知：当-n≤-n＋4≤1时，函数图象与直线y=-x+4有两个交点

解得n≥3；

当≥1，即n≤-1时，图象大致如下

由图可知：当直线y=-x+4与抛物线y= 有唯一交点时，函数图象y与直线y=-x+4有两个交点

联立

整理，得

由题意可得：

解得：n1=-6，n2=2（不符合前提条件，舍去）

综上：函数图象y与直线y=-x+4有两个交点时，n≥3或n=-6