Question

如图，在⊙O中，直径AB的不同侧有点C和点P．已知BC：CA=4：3，点P和点C关于AB所在直线对称，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q，且CQ=12

4

5

．求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：根据题意得CP⊥AB，设垂足为D，由圆周角定理得∠ACB=90°，设BC=4x，那么AC=3x，再根据直角三角形的面积公式可得出CD，PC，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ可得出x，由勾股定理求出答案即可．

解答：解：∵点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
BC：CA=4：3，
设BC=4x，那么AC=3x，由勾股定理得：AB=5x
∵

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴CD=

12

5

x，
∴PC=

24

5

x，
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴Rt△ACB∽Rt△PCQ．
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，

3x

24 5 x

=

4x

12 4 5

，
解得x=2，
∴直径AB=10，
∴⊙O的半径长为5．

点评：本题是一道有关圆的知识的题目，考查了圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．