Question

如图，抛物线与y轴突于A点，过点A的直线y＝kx＋l与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点产作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并求出线段MN的最大值；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2），；（3）当时，四边形BCMN为平行四边形；当时，平行四边形BCMN为菱形

试题分析：（1）把x=3代入即可求得B点的坐标，再把点B的坐标代入即可求得直线AB的函数关系式；
（2）把x=t分别代入到和即可得到点M、N的纵坐标，从而可以表示出MN的长，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）在四边形BCMN中，由BC∥MN可知当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形，即可求得t的值，由勾股定理求得CM的长，再根据菱形的性质求解即可.
（1）把x=3代入，得，
∴B点的坐标分别（3，）
把点B的坐标代入，得,解得
所以；
（2）把x=t分别代入到和
得到点M、N的纵坐标分别为、
∴MN=－（）=
即=－
∴MN_最大＝S_最大＝；
（3）在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形 
当时，PC=2，PM=，由勾股定理求得CM =
此时BC=CM=，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．