Question

【题目】如图①，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上（不与点，重合）的一个动点，过点作且交边于点．

（1）求证：．

（2）如图②，若正方形的边长为，过点作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）在点运动的过程中，的长度不发生变化，理由见解析；（3），理由见解析

【解析】

（1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；

（2）如图②，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF＝OB，则PF为定值是；

（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA＝PM，PC＝NC，整理可得结论．

（1）证明：如图①，过点作，交于点，交于点．

∵，

∴，

∴．

∵四边形是正方形，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴．

在中，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：在点运动的过程中，的长度不发生变化．

理由：如图②，连接．

∵点是正方形对角线的中点，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴．

由（1）得，

∴，

∴．

∵，是等腰直角三角形，

∴．

∴的长为定值．

（3）解：．

理由：如图1，∵，

∴是等腰直角三角形，

∴．

由（1）知，

∴．

∵是等腰直角三角形，

∴．