题目内容

观察：1×2=
1
3
×1×2×3，
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4，
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5，
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，
…
找出以上规律，请你猜想
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=
1
3
×n×（n+1）×（n+2）
1
3
×n×（n+1）×（n+2）
（n为正整数）．
分析：首先仔细观察所给例题，然后找出规律即可．
解答：解：1×2+2×3+3×4+4×5+…+n（n+1）=
1
3
×n×（n+1）×（n+2），
故答案为：
1
3
×n×（n+1）×（n+2）．
点评：此题主要考查了有理数的乘法，关键是正确理解题意，找出所给例题的计算方法．
练习册系列答案
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30、观察下列各式：13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=（1+2+3+4）2…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：203+213+223+…+303．
观察下列各式
1+
1
3
=2
1
3
，
2+
1
4
=3
1
4
，
3+
1
5
=4
1
5
…
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想5
1
6
=
 
，
 
=15
1
16
；
②试猜想第n个等式为
 
；
③证明②式成立．
观察下列各式：
13+23=9=
1
4
×4×9=
1
4
×22×32
13+23+33=36=
1
4
×9×16=
1
4
×32×42
13+23+33+43=100=
1
4
×16×25=
1
4
×42×52
…
（1）计算：13+23+33+43+…+103的值；
（2）试猜想13+23+33+43+…+n3的值．
观察下列各式
1+
1
3
=2
1
3
，
2+
1
4
=3
1
4
，
3+
1
5
=4
1
5
，…按照上述三个等式及其变化过程，完成下列各题：
（1）第4个等式是：
4+
1
6
=5
1
6
4+
1
6
=5
1
6
；
（2）试猜想第n个等式为：
n+
1
n+2
=（n+1）
1
n+2
n+
1
n+2
=（n+1）
1
n+2
；
（3）证明（2）中你猜想的结论．
观察下列等式：
1
3
+
2
=
(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
(
4
-
3
)
(
4
+
3
)(
4
-
3
)
=
4
-
3
，请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算（
2
3
+
2
+
2
4
+
3
+
2
5
+
4
+…+
2
2012
+
2011
）•（
2012
+
2
）=
4020
4020
．

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