Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x=______

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因为AD=3，由勾股定理求出AE长；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到=，代入即可；
（3）①如图，若EF=BF，由相似得到AE=DE=，求出t；②如图，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE=，
故答案为：．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴=，
∴=，
∴y=-x²+x，
∴y=-x²+x=-（x-2）²+
∴当x=2时，y有最大值=，
∵从运动的过程中可以得出点F运动的路程正好是2BF，
∴点F运动路程为2×=cm，
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=-x²+x，点F运动路线的长为cm．

（3）这里有三种情况：
①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=；
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3；
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为或3或3．
答：x的值为或3或3．
点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．