Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是边AB上任意一点（不与点A、点B重合），过P点作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E．
（1）求四边形CDPE面积的最大值；
（2）在（1）下所得的四边形CDPE向右平移t个单位，若0≤t≤4，设四边形CDPE与Rt△ABC的重合部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）设PE=x，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，PD⊥AC，PE⊥BC，
∴四边形CDPE是矩形，
∴CD=PE=x，PD∥AC，
∴△ADP∽△PCB，
∴，
∵AC=BC=4，
∴AD=AB-CD=4-x，
∴PD=4-x，
∴S_{四边形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，
∴当pe=2时，四边形CDPE面积的最大，最大值为4；

（2）如图1，当0≤t＜2时，
根据题意得：CC′=t，AD=AC-CC′-C′D=4-2-t=2-t，
∵PE∥AC，
∴△AFD∽△ABC，
∴AD：AC=DF：BC，
∴DF=2-t，
∴PF=PD-DF=t，
∴S_△PFG=t²，
∴S_重合部分=S_{四边形C′DPE}-S_△PFG=4-t²；
如图2，当t=2时，点E在AB上时，AC′=EC′=2，
S_重合部分=S_△AC′E=2；
如图3，当2＜t≤4时，AC′=AB-CC′=4-t，
∴C′F=AC′=4-t，
∴S_重合部分=S_△AC′E=（4-t）²．
分析：（1）首先设PE=x，易得四边形CDPE是矩形，又由△ADP∽△PCB，易求得PD的长，继而可得S_{四边形CDPE}=PE•PD=x（4-x）=-（x-2）²+4，则可求得答案；
（2）分别从当0≤t＜2时，当t=2时与当2＜t≤4时去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值以及矩形的性质等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．