题目内容

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F．
（1）如图1，点G在矩形ABCD内部，试判断GF与DF的数量关系，并证明你的结论；
（2）①如图2，当点G在BC边上时，即有 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的值为______；
②当点G在矩形ABCD内部时，如果 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；
③当点G在矩形ABCD内部时，如果 $数学公式$ ，用t的代数式表示 $数学公式$ （直接写出结论）；当点G在矩形ABCD外部时，你得出的结论是否还成立？请直接写出结论即可．

解：（1）GF=DF，
证明：∵矩形ABCD中，E是AD的中点，
将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，
EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；

（2）①∵DC=DF，AE=ED=AB，
∴ $\text{[math]}$ =2，
故答案为：2；
②假设DF=x，则FG=x，BG=2x，
∵由（1）知∠BEF=90°，

∴EG²=BG×GF，
∴EG= $\text{[math]}$ x，
AD=2 $\text{[math]}$ x，
AB=2x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ，当点G在矩形ABCD外部时，得出的结论还成立．
分析：（1）利用图形的翻折变换性质的出Rt△EGF≌Rt△EDF；
（2）运用（1）中结论得出 $\text{[math]}$ =2，进而利用射影定理表示出EG以及AD，AB的长求出即可．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换以及三角形全等的证明等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．

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