题目内容
（2005•湘潭）如图，已知
=
，∠APC=60度．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
【答案】分析：（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和锐角三角函数计算．
解答：
（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又
，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=
，
∴S⊙O=π•OC2=
．
点评：熟练掌握圆周角定理的推论和等弧对等弦，掌握等边三角形的性质和判定．
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和锐角三角函数计算．
解答：
（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又
，∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=
，∴S⊙O=π•OC2=
．点评：熟练掌握圆周角定理的推论和等弧对等弦，掌握等边三角形的性质和判定．
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上一点，则∠ACB= 度．
