Question

如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，圆O与圆M外切，圆O与线段AC、线段BC、线段AB相切于点E、D、F，圆M与线段AC、线段BC都相切，其中AB=5，BC=12．求：
（1）圆O的半径r；
（2）tg

C

2

；
（3）sin

C

2

；
（4）圆M的半径r_m．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件知道圆O是Rt△ABC的内切圆，根据勾股定理可以求出AC边，然后利用公式即可求出内切圆的半径；
（2）如图（2），连接CO、OD，由于圆O内切于三角形ABC，根据切线的性质可以得到CO平分∠ACB，∠CDO=90°，然后利用三角函数得到tan∠DCO=

r

CD

=

2

12-2

=

1

5

，这样即可求解；
（3）利用（2）的结论和三角函数中正弦的定义即可求解；
（4）由圆M与圆O、线段AC、线段BC都相切得到圆心M必在CO上．过点M作MH⊥OD，如图3，所以MH∥CD，根据平行线的性质得到∠OMH=∠DCO，接着得到sin∠OMH=

OH

OM

=sin∠DCO=

26

26

，由此得到关于r_m的方程，解方程即可求解．

解答：解：
（1）如图1，
∵∠B=90°，
c=5，a=12，
∴b=13．（1分）
r=

a+c-b

2

=

12+5-13

2

=2．

（2）在图2中，连接CO、OD，
∵圆O内切于三角形ABC，
∴CO平分∠ACB，∠CDO=90°．（2分）
tan∠DCO=

r

CD

=

2

12-2

=

1

5

．（1分）

（3）sin∠DCO=

r

CO

=

2

22+102

=

26

26

．（2分）

（4）∵圆M与圆O、线段AC、线段BC都相切，
∴圆心M必在CO上．
过点M作MH⊥OD，如图3，
∴MH∥CD，（1分）
∴∠OMH=∠DCO．
∴sin∠OMH=

OH

OM

=sin∠DCO=

26

26

，
∴

r-rM

r+rM

=

1

26

，即

2-rM

2+rM

=

1

26

，（2分）
解得rM=

54-4 26

25

．（1分）

点评：此题主要考查了相切两圆的性质及解直角三角形，有一定的综合性，解题时首先利用直角三角形内切圆的知识求出半径，然后利用相切两圆的性质和三角函数的定义即可求解．