题目内容
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．分析：由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为等腰三角形．
解答：证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
即△AEF为等腰三角形．
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
即△AEF为等腰三角形．
点评：此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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