Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线y=ax²+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）△ABC绕AC的中点旋转180°得到△ABC，试判断点B是否在抛物线上，请说明理由；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使A、C、P、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过B作x轴的垂线，设垂足为D，通过证三角形BDC和三角形COA全等来求出B点的坐标；得出B点坐标后，将其代入抛物线的解析式中即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式；
（2）根据（1）求得的B点坐标可知，B点正好和AC的中点的纵坐标相同，因此三角形绕AC中点，选择180°后，B′的纵坐标不变，由此可求出B′坐标为（2，1）．将其代入抛物线的解析式中即可判定出旋转后B点是否在抛物线上；
（3）本题符合条件的P点较多：
可将A点的纵坐标代入抛物线的解析式中，可求出两个Q点的坐标，即可得出AQ的长，然后将C点坐标向左或向右平移AQ个单位，可得出4个符合条件的P点的坐标；取A点关于x轴的对称点A′，将其纵坐标代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的Q点坐标，然后根据直线AC的斜率求出直线PQ的解析式，即可得出P点的坐标，这种情况可得出2个符合条件的P点坐标，综上所述应该有6个符合条件的P点坐标．
解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO；
又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2；
∴点B的坐标为（-3，1）；
∵抛物线y=ax²+ax-2经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2，
解得a=，
所以抛物线解析式为y=x²+x-2；

（2）B（2，1）
经检验点B（2，1）在抛物线y=x²+x-2．

（3）P₁（，0），P₂（，0），P₃（，0），P₄（，0），P₅（0，0），P₆（1，0）
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形的旋转、函数图象交点、平行四边形的判定等知识，要注意的是（3）题中要将所有可能的条件都考虑到，不要漏解．