题目内容

某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y= $数学公式$ x²的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，俺水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为

A.
12.75米
B.
13.75米
C.
14.75米
D.
17.75米

C
分析：以点A为原点建立坐标系，设抛物线的顶点为M，作MF⊥CD，交DE于点G，交CD于点F，首先根据题意，设出抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+bx，把B（50，10）代入，可求出抛物线的解析式，根据其性质，可得出顶点的坐标M（15，-2.25），求得MF，根据坡度1：5，可求得GF的长，即可求出MG的长，即下垂的电缆与地面的最近距离；
解答：

解：如图，以点A为原点，建立坐标系，
∵斜坡的坡度为1：5，CD=50m，
∴CE=10m，
∴点B的坐标为（50，10），
设抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+bx，
∴10= $\text{[math]}$ ×2500+50b，
解得，b= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ （x-15）²-2.25，
∴设抛物线的顶点为M，则M（15，-2.25），作MF⊥CD，交DE于点G，交CD于点F，
∴MF=20-2.25=17.75m，又DF=15m，
∴FG= $\text{[math]}$ DF=3m，
∴MG=MF-FG=17.75-3=14.75m；
即下垂的电缆与地面的最近距离为14.75m；
故选C．
点评：本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，应熟练运用二次函数的性质求最值．