Question

【题目】综合与探究：

如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），顶点为，为对称轴右侧抛物线的一个动点，直线与轴于点，过点作，交轴于点．

（1）求直线的函数表达式及点的坐标；

（2）如图2，当轴时，将以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向平移，当点与点重合时停止平移．设平移秒时，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）如图3，过点作轴的平行线，交直线于点，直线与交于点，设点的横坐标为．

①当时，求的值；

②试探究点在运动过程中，是否存在值，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，；当时，；（3）①或，②

【解析】

（1）先通过抛物线函数关系式求出与x轴的两个交点A、B的坐标以及顶点D的坐标，再利用待定系数可求得直线AD的函数表达式，令x=0，即可求得点C的坐标；

（2）先求出点P坐标，通过平移可求得，从而可得OF的长为，当时，重叠部分为△AOC，求出△AOC的面积即可，当时，平移秒到的位置，交于点，如图，重叠部分为四边形，根据结合相似三角形的性质可表示出的长，再根据四边形的面积=的面积-的面积即可求出关于的函数关系式；

（3）①过点作轴于点，交于点，利用点P、D的坐标表示出DN、NQ的长，再根据平行得，结合列出方程求解即可；

②当点P在第一象限时，过点P作PG⊥x轴于点G，易证△PGF∽△COA，故可设PG=4k，FG=3k，由勾股定理得PF=5k，由菱形得AF=PF=5k，故可表示出点P坐标，将点P坐标代入抛物线函数关系式列出方程求解即可，当点P在第四象限时，同理可得点P坐标．

解：（1），

当时，，解得，

∵点在点的左侧，

∴，

∵，即，

∴，

设直线的函数表达式为，

∵直线过点，

∴，解得，

∴，

当时，，

∴．

（2）当时，，

解得：，

∵点在抛物线对称轴的右侧，

∴ ，

∴，

∴，

当时，

，

当时，平移秒到的位置，交于点，如图，

则，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴

=

．

综上所述，当时，；

当时，；

（3）①如图，过点作轴于点，交于点．

∵点的横坐标为，

∴，

∵，

∴，

，

∵轴，

∴，

当时，，

∴，即，

当时，

,

∵点在抛物线对称轴的右侧，

∴；

当时，

，

∵点在抛物线对称轴的右侧，

∴，

综上所述，或，

②如图，当点P在第一象限时，过点P作PG⊥x轴于点G，

∵PF∥AC，

∴∠PFG=∠CAO

又∵∠PGF=∠COA=90°，

∴△PGF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴设PG=4k，FG=3k，则PF=5k，

∵四边形是菱形

∴AF=PF=5k，

又∵点A（-2，0），

∴点P（-2+8k，4k）

∵点P在抛物线的图像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴点P的坐标为，

如图，当点P在第四象限时，过点P作PK⊥x轴于点K，

∵PF∥AC，

∴∠PFK=∠CAO，

又∵∠PKF=∠COA=90°，

∴△PKF∽△COA，

∴，

∴，

∴，

∴设PK=4a，FK=3a，则PF=5a，

∵四边形是菱形

∴AF=PF=5a，

又∵点A（-2，0），

∴点P（-2+2a，-4a）

∵点P在抛物线的图像上，

∴，

整理得

解得（舍去）

∴

∴点P的坐标为，

综上所述，存在，使四边形是菱形，此时点的坐标为．