Question

如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l₁、l₃上并与l₂相交于点E，
①AE与BE的长度大小关系为

AE=BE

；
②若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l₂、l₄上，则sinα=

5

5

．

Answer 1

分析：（1）根据平行线分线段成比例定理可得AE：BE=1，从而得到AE=BE；
（2）过点B作BF⊥l₁于F，过点D作DG⊥l₁于G，根据正方形的性质可得∠BAD=90°，AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABF=∠DAG，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BF，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵l₁∥l₂∥l₃，相邻两条平行直线间的距离都是2，
∴AE：BE=2：2=1，
∴AE=BE；

（2）如图，过点B作BF⊥l₁于F，过点D作DG⊥l₁于G，
∵相邻两条平行直线间的距离都是2，
∴BF=4，DG=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵∠ABF+∠BAF=90°，
∠DAG+∠BAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
∵在△ABF和△DAG中，

∠ABF=∠DAG ∠AFB=∠DAG=90° AB=AD

，
∴△ABF≌△DAG（AAS），
∴AG=BF=4，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

42+22

=2

5

，
所以sinα=

DG

AD

=

2

2 5

=

5

5

．
故答案为：（1）AE=BE；（2）

5

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．