Question

半径为R的圆内接正三角形的面积是（　　）

• A、

  3

  2

  R²
• B、πR²
• C、

  3 3

  2

  R²
• D、

  3 3

  4

  R²

Answer 1

分析：根据题意画出图形，先求出正三角形的中心角及边心距，再根据三角形的面积公式求解即可．

解答：解：如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=

360°

3

=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=

1

2

×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD=

R

2

，BD=OB•cos30°=

3 R

2

，
∴BC=2BD=2×

3 R

2

=

3

R，
∴S_△BOC=

1

2

×BC×OD=

3 R

2

×

R

2

=

3 R2

4

，
∴S_△ABC=3×

3 R2

4

=

3 3

4

R²．
故选D．

点评：本题考查圆的内接正三角形的性质及等边三角形的面积的计算．
规律与趋势：圆的内接正三角形的计算是圆中的基本计算，正三角形的相关性质则是解决这类问题的关键．其中，已知边长求面积，已知高求面积等都是常见的计算．