Question

如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…，S_n（n为正整数），那么第8个正方形的面积S₈=

2⁷

，第n个正方形的面积S_n=

2^n-1

．

Answer 1

分析：由题意可以知道第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为

2

，第三个正方形的边长为2，就有第n个正方形的边长为

2

^（n-1），再根据正方形的面积公式就可以求出结论．

解答：解：第一个正方形的面积为1=，故其边长为1=2⁰；
第二个正方形的边长为

2

，其面积为2=2¹；
第三个正方形的边长为2，其面积为4=2²；
第四个正方形的边长为2

2

，其面积为8=2³；
…
第n个正方形的边长为（

2

）^n-1，其面积为2^n-1．
当n=8时，
S₈=2^8-1，
=2⁷．
故答案为：2⁷，2^n-1．

点评：本题是一道探索规律的试题，考查了正方形的面积公式的运用，正方形的性质及勾股定理得运用，解答本题时找到正方形的面积与边长的变化规律是关健．